| 그래프 | 트리 | |
| 방향성 | 방향 그래프 혹은 무방향 그래프 | 방향 그래프 |
| 순환성 | 순환 및 비순환 | 비순환 |
| 루트 노드 존재 여부 | 루트 노드가 없음 | 루트 노드가 존재 |
| 노드간 관계성 | 부모와 자식 관계 없음 | 부모와 자식 관계 |
| 모델의 종류 | 네트워크 모델 | 계층 모델 |
우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 알고리즘은 인접 리스트를 이용하는 방식이다.
플로이드 워셜 알고리즘은 인접 행렬을 이용하는 방식이다.
최단 경로를 찾아야 하는 문제가 출제되었을 때, 노드의 개수가 적은 경우에는 플로이드 워셜 알고리즘을 이용할 수 있다. 반면에 노드와 간선의 개수가 모두 많으면 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 알고리즘을 이용하면 유리하다.
서로소 집합
서로소 집합(Disjoint Sets)이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다.
union(합집합) 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다. find(찾기) 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
서로소 집합 자료구조는 union-find(합치기 찾기) 자료구조라고 불리기도 한다.
- union 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
- A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾는다.
- A’를 B’의 부모 노드로 설정한다(B’가 A’를 가리키도록 한다).
- 모든 union 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합을 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end = '')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end = ' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
이렇게 구현하면 find 함수가 O(V)의 속도로 작동해 비효율적이다.
경로 압축(path compression)을 사용하면 시간 복잡도를 개선할 수 있다. find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다.
def find_parent(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
이렇게 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다는 특징이 있다.
간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하는 것만으로도 사이클을 판별할 수 있다.
- 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
- 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print('사이클이 발생하지 않았습니다.')
이러한 사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 E개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다. 이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무향 그래프에서만 적용 가능하다.
신장 트리
신장 트리(Spanning Tree)란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.
크루스칼 알고리즘
다양한 문제 상황에서 가능한 한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때 사용한다(ex> N개의 도시 중 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 상황).
→ ‘최소 신장 트리 알고리즘’이라고 하며 대표적으로 크루스칼 알고리즘(Kruskal Algorithm)이 있다.
모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다. 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다.
그리디 알고리즘으로 분류된다.
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
- 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
- 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
- 모든 간선에 대해 2번의 과정을 반복한다.
핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)
간선의 개수가 E일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
→ E개의 데이터를 정렬했을 때 시간 복잡도가 O(ElogE)이며, 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.
위상 정렬
위상 정렬(Topology Sort)은 정렬 알고리즘의 일종으로, 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다.
→ 방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
ex) 선수과목을 고려한 학습 순서 결정
진입차수(Indegree): 특정한 노드로 ‘들어오는’ 간선의 개수
ex) 2개의 선수과목 → 진입차수 2
- 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
- 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
- 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 다시 말해 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다. 사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v+1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과를 출력
for i in result:
print(i, end = ' ')
topology_sort()
시간 복잡도: O(V+E)
차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 한다. 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인하기 때문에 O(V+E)의 시간 소요.
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